1차 양화 논리 (1): 1차 양화 논리의 계기와 구문론

오늘의 논리학 시리즈는 현대 논리학에 대한 포괄적이고 기초적인 이해를 위한 자료들을 제공합니다.

  1. 명제 논리 (1) | (2) | (3) | (4)
  2. 1차 양화 논리 (1) | (2) | (3) | (4)
  3. (추가 예정)

2.1. 1차 양화 논리의 계기

다음의 논증:\[\eqalign{
1. &\text{모든 사람은 죽는다.} \\
2. &\text{소크라테스는 사람이다.} \\
3. &\text{따라서 소크라테스는 죽는다.} \\
}\tag{1.11}\]은 직관적으로 타당하지만, 그 타당성은 명제 논리에서 (오로지 형식적으로는) 증명될 수 없었다. 명제 논리는 직관적으로 타당한 모든 논증을 타당하게 할 만큼의 표현력을 갖고 있지는 못한 셈이다.

그렇다면 어떤 형식 언어가 우리가 지금 요구하는 충분한 표현력을 갖고 있을까? 일단 (1.11)을 생각할 때, 우리에게 필요한 것은 주어-술어 구조의 자연어 문장을 모사할 수 있는 형식 언어이다. 그런 형식 언어가 있을 것이라면, 일단 주어와 술어의 자리가 구별될 수 있어야 할 것이다.

나아가, 우리는 (1.11)의 1번 논제에서처럼 “모든” 같은 표현을 할당할 형식적 도구를 필요로 한다. (1.11)의 “모든”은 단지 “사람”을 수식하기보다는, “사람은 죽는다”를 만족하는 것들이 상정되는 맥락의 모든 것들임을 의미하기 위해 사용된 수식어구로 보인다. 그렇다면 여기에서 “모든”은 “죽는다”처럼 단지 어떤 개체를 수식하는 술어는 아닌 것이다.

우리가 이제부터 논할 논리 체계 \(Qt\)의 언어인 \(\mathcal{L}_{Qt}\)이 바로 이런 계기와 일치하는 언어이다. 명제 논리에서와 마찬가지로, 우리는 \(Qt\)의 구문론, 의미론, 그리고 연역 체계를 이어서 살펴볼 것이다.

2.2. \(\mathcal{L}_{Qt}\)의 구문론

\(\mathcal{L}_{Pr}\)에서처럼, 먼저 \(\mathcal{L}_{Qt}\)의 구문론은 그 원초적 기호들로부터 정의된다. \(\mathcal{L}_{Qt}\)의 원초적 기호들은 다음과 같다:\[\begin{align}
&\text{$\mathcal{L}_{Pr}$의 연결사와 괄호 및,}\\
&\text{개체 변항: }x_1, x_2, x_3, …\\
&\text{개체 상항: }a_1, a_2, a_3, …\\
&\text{$n$항 술어 기호: }P_1^n, P_2^n, P_3^n, …\\
&\text{양화사: }\forall, \exists\\
\end{align}\tag{2.1}\]

이 중 개체 변항과 개체 상항을 “(일차) 항terms”이라고 부르자. 이어서 \(\mathcal{L}_{Qt}\)의 적형식은, 마찬가지로 다음과 같이 정의된다:\[\begin{align}
&\text{$n$항 술어 $F$와 항 $\alpha_i$에 대해, (원자식) }Fa_1…a_n\text{은 적형식이다.}\\
& \phi\text{가 적형식이라면, }\forall x_i\phi, \exists x_i\phi\text{는 적형식이다.} \\
& \phi\text{가 적형식이라면, }\neg\phi\text{는 적형식이다.} \\
& \phi, \psi\text{가 적형식이라면, }(\phi\land\psi), (\phi\lor\psi), (\phi\supset\psi)\text{는 적형식이다.}\\
&\text{(그 외에는 적형식이 아니다.)}
\end{align}\tag{2.2}\]

이렇게 \(\mathcal{L}_{Qt}\)의 구문론이 완성된다. 마찬가지로, 표기 상의 편의를 위해 다음의 사항들을 약정하자:

  • \(x_1, x_2, x_3, ...\) 대신 \(x, y, z, ...\)를 개체 변항으로 사용할 수 있다.
  • \(a_1, a_2, a_3, ...\) 대신 \(a, b, c, ...\)를 문장 기호로 사용할 수 있다.
  • \(P_1^n, P_2^n, P_3^n, ...\) 대신 \(F, G, H, ...\)를 술어 기호로 사용할 수 있다.
  • 중의성이 없는 경우, 괄호를 생략할 수 있다.

2.3. 속박 변항과 자유 변항, 적형식의 두 종류

(2.2)에 따르면 다음과 같은 문자열 또한 적형식이다:\[Fxy\tag{2.3}\] 그런데 가령 산수의 식\[x+3=2\]에서 생각해볼 수 있듯, (2.3)과 같은 종류의 식은 그것이 어떤 의미의 명제인지 명확하지 않은 식이다. 즉, 의미론적으로 불완전semantically incomplete하다. 의미론적으로 불완전한 식과 완전한 식의 구분을 위해, 우리는 속박 변항bound variable과 자유 변항free variable이라는 구문론적 구분을 도입할 것이다:\[\begin{align}
&\text{적형식 $\phi$에 등장하는 변항 $\xi$가 속박되어 있다}\\
\iff&\text{$\phi$에서의 $\xi$의 모든 등장이 어떤 양화사의 작용 범위 안에 있다}\\
\iff&\text{$\phi$에서의 $\xi$가 문자열 $\langle \sigma_1, ..., \sigma_n\rangle= \phi$의 한 부분인}\\&\text{적형식 $\psi=\langle \sigma_k, ..., \sigma_{k+m}\rangle$에 대해,}\\&\text{$\forall\xi\psi(\xi)$ 또는 $\exists\xi\psi(\xi)$ 형태로만 등장한다}
\end{align}\tag{2.4}\]\[\text{적형식 $\phi$에 등장하는 변항 $\xi$가 자유롭다}\defeq\text{$\xi$가 속박되어 있지 않다}\tag{2.5}\]

이제 이 두 정의를 가지고, 우리는 다음과 같이 열린 식, 닫힌 식, 문장을 정의할 수 있다:\[\begin{align}
\text{$\phi$가 문장이다}&\iff\text{$\phi$가 열린 식이다}\\
&\iff\text{적형식 $\phi$가 포함하는 모든 변항이 속박되어 있다}\\
&\iff\text{$\phi$가 닫혀 있지 않다}
\end{align}\tag{2.6}\]

이제 \(\mathcal{L}_{Qt}\)의 구문론을 완성했다. 다음에는 \(\mathcal{L}_{Qt}\)의 의미론에 대해, 그리고 ‘모형론적 참’ 개념에 대해 이야기해 보자.

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