1차 양화 논리 (2): 1차 양화 논리의 의미론

오늘의 논리학 시리즈는 현대 논리학에 대한 포괄적이고 기초적인 이해를 위한 자료들을 제공합니다.

  1. 명제 논리 (1) | (2) | (3) | (4)
  2. 1차 양화 논리 (1) | (2) | (3) | (4)
  3. (추가 예정)

2.4. 해석

\(\mathcal{L}_{Qt}\) 또한 그 의미론을 위해 해석을 필요로 할 것이다. 그런데 명제 논리에서의 해석이 진리치가 할당되는 문장 기호들에 대해서만 요구되었던 것과 달리, \(\mathcal{L}_{\forall}\)와 같은 양화 논리 체계에서의 해석은 진리치가 할당되지 않는, 개체 논항, 술어 따위에 대해서도 이루어져야 한다. 그래서 우리에게는 보다 복잡한 모형이 필요하다.

먼저 우리의 모형 \(\mathcal{M}\)을 다음과 같이 정의하자: \(\mathcal{M}=\langle\mathcal{D},\mathcal{I}_i\rangle\) \(\mathcal{I}_i\)는 \(\mathcal{L}_{Pr}\)에서와 마찬가지로 구문을 우리가 원하는 공간에 대응시켜 주는 해석 함수이다. 차이가 있다면 문장들에 진리값을 할당했던 \(\mathcal{L}_{Pr}\)의 해석 함수와 달리, \(\mathcal{L}_{Qt}\)의 해석은 일차 항과 술어를 그것에 상응하는 대상과 관계에 할당해야 할 것이라는 점이다.

이러한 이유로 \(\mathcal{D}\)가 새롭게 추가되는 것이다. 이는 \(\mathcal{L}_{Qt}\)의 모형을 구성하는 도메인을 의미한다. 해석을 통해, \(\mathcal{L}_{Qt}\)의 개체 상항들은  \(\mathcal{D}\)의 원소에, 그리고 \(n\)항 술어는 그 도메인에서의 관계에 할당된다. 해석을 통해 \(n\)항 술어 \(P\)가 관계에 할당된다는 것은 바로 \(\mathcal{I}_i(P)\subseteq\mathcal{D}^n\)이 된다는 것이다. 관계란 \(n\) 순서쌍의 집합으로, 가령 \(R\)이 2항 관계라 한다면 \(R\)은 \(\alpha, \beta\)의 순서쌍 \((\alpha, \beta)\)와 같은 것들을 원소로 갖는 집합으로 이해될 수 있기 때문이다. \(P\)를 만족하는 모든 일차 항은 \(\mathcal{D}\)의 원소로 해석되어야 할 것이므로, 관계 \(\mathcal{I}_i(P)\)는 \(\mathcal{D}\) 내에서 정의되고, 따라서 \(\mathcal{I}_i(P)\subseteq\mathcal{D}^n\)이다.

그런데 \(\mathcal{L}_{Qt}\)의 구문에는 개체 상항뿐 아니라 개체 변항도 등장한다. 이는 어떻게 해야 할까? 개체 변항이 포함된 문장을 처리하는 데에는 여러 방식이 있을 수 있겠지만, 일단 우리는 더이상의 의미론적 장치를 추가하지 않은 채, 평가만을 정의하여 개체 변항이 포함된 문제를 해결하는 방식을 취해볼 것이다. 그러니 바로 평가 함수의 정의로 넘어가 보자.

2.5. 평가

해석 \(\mathcal{I}_i\)에 상대적인 평가 \(v_{\mathcal{I}_i}\), 줄여서 \(v\)는 \(\mathcal{L}_{Qt}\)의 문장에 대해 다음과 같이 재귀적으로 정의된다(단, \(\phi[\alpha/\beta]\defeq\text{$\phi$에 등장하는 모든 $\alpha$를 $\beta$로 대치한 식}\)):\[\begin{align}
v(P_j^na_1,...,a_n) = 1&\iff (\mathcal{I}_i(a_1), ..., \mathcal{I}_i(a_n))\in\mathcal{I}_i(P_j^n)\\
v(\forall x_i\phi)=1 &\iff\text{$\mathcal{I}_i(a)\in\mathcal{D}$인 모든 $a$에 대해, $v(\phi[x/a])=1$} \\
v(\exists x_i\phi)=1 &\iff\text{$\mathcal{I}_i(a)\in\mathcal{D}$인 어떤 $a$에 대해, $v(\phi[x/a])=1$} \\
v(\neg\phi)=1 &\iff v(\phi)=0\\
v(\phi\land\psi)=1 &\iff v(\phi)=1 \text{이면서 }  v(\psi)=1\\
v(\phi\lor\psi)=1 &\iff v(\phi)=1 \text{이거나 } v(\psi)=1\\
v(\phi\supset\psi)=1 &\iff v(\phi)=0 \text{이거나 } v(\psi)=1
\end{align}\tag{2.7}\]

이 중 문장 연결사들에 대한 해석은 \(\mathcal{L}_{Pr}\)에서의 해석과 동일하다. 그러니 \(\mathcal{L}_{Pr}\)에서와 마찬가지로 진리표를 그려서 문장 연결사가 포함된 식의 진리 조건을 확인할 수도 있을 것이다. 그러나 \(\mathcal{L}_{Qt}\)의 원자식은 그 해석을 위해 진리값 외의 요소, 가령 \(\mathcal{D}\)의 원소나 관계 따위를 고려해야 한다. 이런 이유에서, 우리는 \(\mathcal{L}_{Qt}\)에서의 어떤 표현의 진리 조건과 타당성(함축) 개념을 더 잘 이해하기 위해, 아래에서 다룰 개념을 필요로 한다.

2.6. 모형에서 참

편의상 \(\mathcal{L}_{Qt}\)과 닮은 우리의 언어가 아주 표현력이 제약적이어서, 단 두 개의 개체 상항과 단 한 개의 이항 술어만을 갖는다고 해 보자. 그래서 우리의 해석 함수는 그 두 개의 개체 상항에 대해서만 그것을 도메인의 어떤 원소로 해석하며, 그 한 개의 술어에 대해서만 그것을 도메인의 어떤 이항 관계로 해석한다.

가령, \(\mathcal{I}_1(a)=\alpha, \mathcal{I}_1(b)=\beta\), \(\mathcal{I}_1(R)=\Pi\), \(\mathcal{I}_2(a)=\beta\), \(\mathcal{I}_2(b)=\alpha\), \(\mathcal{I}_2(a)=\beta\), \(\mathcal{I}_2(b)=\Phi\)이다. 그런데 도메인과 그 도메인에서의 관계가 \(\mathcal{D}=\{\alpha,\beta\}\), \(\mathcal{D}^2=\{\Pi=\{(\alpha, \beta)\}\}\)로 같고 해석에 있어서만 \(\mathcal{I}_1\), \(\mathcal{I}_2\)로 서로 다른 경우를 고려해 보자. 이 경우 \(Rab\)는 \(\mathcal{I}_1\)에서 참, \(\mathcal{I}_2\)에서 거짓이 될 것이다.

그런데 해석이 같으면서도 도메인과 그 도메인에서의 관계를 다음과 같이 다르게 갖는 경우를 생각해 보자: \(\mathcal{D}^\prime=\{\alpha,\beta, \gamma\}\), \(\mathcal{D}^{\prime 2}=\{\Pi=\{(\alpha, \gamma)\}\}\) 그렇다면 같은 해석 \(\mathcal{I}_1\)을 취한다 하더라도, \(\exists x(Rxb)\)는 \(\mathcal{D}\), \(\mathcal{D}^2\)에서 참인 반면 \(\mathcal{D}^\prime\), \(\mathcal{D}^{\prime 2}\)에서 거짓이게 된다. 해석뿐 아니라 도메인의 구성까지도 고려를 해야 한다는 것이다.

그래서 지금부터는 해석 하에서의 참을 보다 확장해, 도메인과 해석으로 구성된, 어떤 모형에서 어떤 문장이 참이거나 거짓인 경우들을 고려해야 한다. 이를 ‘모형 하에서 참’ 개념이라고 하자. 마찬가지로 타당성, 함축, 논리적 귀결의 개념 또한 모형 하에서 참 개념을 통해 이해되어야 한다. 즉, \(\vDash\)는 이제 다음처럼 이해된다:\[\begin{align}
\Gamma\vDash\phi&\iff\text{$\Gamma$의 모든 원소가 참인 모든 모형에서 $\phi$가 참}\\
\vDash\phi&\iff\text{모든 모형에서 $\phi$가 참}
\end{align}\tag{2.8}\]

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